ноя

2024

Репортаж об осенней школе «Логика и формальная философия 2024»

С 28 октября по 1 ноября в Международной лаборатории логики, лингвистики и формальной философии проходила осенняя школа «Логика и формальная философия 2024».

фото МЛ ЛогЛинФФ

ДЕНЬ 1: 28.10.2024

Первый день осенней школы начался со вступительного слова Елены Драгалиной-Черной и Виталия Долгорукова.

Школа открылась курсом Евгения Борисова «Проблема кросс-мировой предикации в модальной логике». Проблема кросс-мировой предикации в модальной логике связана с тем, что традиционная логика не способна адекватно описывать отношения между объектами, ассоциированными с разными возможными мирами. Для отображения этого феномена была разработана логика CWPL (Cross-World Predication Logic). CWPL представляет собой модификацию стандартной модальной логики первого порядка с равенством, как описано в работе Фиттинга и Мендельсона. В отличие от стандартных подходов, CWPL вводит кросс-мировую интерпретацию предикатов, где предикаты назначаются не отдельным мирам, а упорядоченным комбинациям миров, что позволяет лучше анализировать межмировые отношения.

Основная структура CWPL включает кортежи возможцных миров и специальные функции оценки VP (Variable-Possible world) для работы с атомарными формулами. Эта модификация помогает строить кросс-мировые утверждения, такие как "Джон мог быть выше, чем Мэри в действительном мире", где Джон и Мэри существуют в разных мирах. Новая семантика CWPL позволяет гибко формализовать такие высказывания.

Также CWPL обладает специфическими семантическими эффектами, такими как общезначимость некоторых формул, которые не являются общезначимыми в стандартной модальной логике, и наоборот.

Далее с курсом «Интуиционистская эпистемическая логика» выступила Анастасия Оноприенко. Интуиционистская эпистемическая логика фокусируется на понятии знания, основанного на проверке и верификации, а не на традиционной истине. В отличие от классической логики S5, опирающейся на принципы рефлексии (если утверждение известно, то оно истинно) и интроспекции (если что-то известно, то известно, что оно известно), интуиционистская логика требует конструктивного доказательства утверждений. BHK-интерпретация (по Брауэру, Гейтингу и Колмогорову) рассматривает истинность утверждения как наличие его доказательства, а ложность — как невозможность доказать утверждение.

Колмогоров предложил концепцию логики задач, в которой формулы интерпретируются как задачи, а логические операции — как действия над ними. Это позволило по-новому взглянуть на традиционные интуиционистские связи. В интуиционистской эпистемической логике различают несколько уровней знания: IEL− (интуиционистская вера), IEL (непротиворечивая вера) и IEL+ (строгое знание), которые уточняют степень уверенности в истинности утверждения через модальные операторы.

Модели Крипке и более сложные битопологические модели (набор пространств с двумя топологиями) представляют истинность утверждений через набор возможных миров и отношения между ними. Эти модели позволяют прояснить, как различные уровни знания проявляются в различных ситуациях и как можно представить проверку истины или ложности в конструктивных системах.

Важными результатами интуиционистской логики являются теоремы о полноте и корректности, утверждающие, что для каждой невыводимой формулы существует контрмодель, демонстрирующая её ложность. В системе IEL+ действуют свойство корефлексии (наличие доказательства всегда порождает знание) и специальные правила для топологических и битопологических моделей, что позволяет усиливать конструктивные возможности данной логики.

Курс «Модальная логика предикатов: три варианта семантики и теорема о полноте» Виталия Долгорукова был посвящён исследованию сочетания кванторов и модальностей в рамках модальной логики предикатов, основным источником является материал из трудов Т. Браунера и С. Гиларди по модальной логике первого порядка, а также Дж. Гарсона и Д. Габбая, описывающих квантование в модальной логике. Особое внимание уделяется трем вариантам семантики Крипке для модальной логики предикатов:

Семантика с постоянными доменами. В её основе лежит идея, что объекты, доступные в каждом возможном мире, не меняются, что обеспечивает стабильность квантификации.
Семантика с растущими доменами. Она предполагает, что домены могут увеличиваться от мира к миру, что позволяет учитывать появление новых объектов в будущем или иных возможных мирах.
Семантика с переменными доменами. Она допускает изменение состава объектов, доступных в каждом мире, что предоставляет гибкий подход к моделированию изменяющегося существования объектов.

Для каждого типа семантики рассматривается соответствующая система гильбертовского исчисления, которая согласована с особенностями данной семантики. Основной акцент делается на доказательствах теорем о полноте, где используется формула Баркан — она служит ключевым элементом при работе с квантификацией в модальной логике предикатов и способствует установлению связи между различными семантическими системами.

Первый день осенней школы завершился постерной секцией. Свои постеры представили Рамазан Аюпов (“Recursive Narratives and Hybrid Logic”), Арсен Вольский (“Удивительная история таблиц истинности”), Игорь Зайцев (“An Intuitionistic Counterpart of Stalnaker’s Conditional Logic with Two Independent Counterfactual Conditionals”), Индира Мухаметшина (“Sequent Calculus for CWPL”) и Ульяна Пензина (“Skolem Functions as a tool for analyzing Natural Language Phenomena”). В обсуждении докладов постерной секции участвовали коллеги из Бразилии: Марсело Эстебан Конилио, Эвандро Гомес и Итала Лоффредо Д’Оттавиано, высоко оценившие работу участников.

ДЕНЬ 2: 29.10.2024

Второй день школы начался со второй части курса Евгения Борисова «Проблема кросс-мировой предикации в модальной логике». Одним из ключевых элементов CWPL является использование деревьев доказательства с особыми правилами для модальных операторов, кванторов и λ-оператора, что повышает точность оценки формул.

Дополнительное отличие CWPL состоит в использовании двойной системы индексов (верхних и нижних) для термов, что позволяет точно определить, с каким миром ассоциирован конкретный объект. Примеры, рассмотренные Евгением Борисовым в CWPL, показывают доказуемость формул, которые в стандартной модальной логике были бы недоказуемыми. В CWPL также используются традиционные правила замены и рефлексивности, однако они дополнены особыми условиями для работы с индексами и переменными, что позволяет учитывать уникальные особенности кросс-мировой предикации.

В заключение Евгений Борисов подчеркнул, что CWPL удовлетворяет критериям корректности и полноты, что означает: любая истинная формула может быть выведена в этой системе. Таким образом, CWPL представляет собой полезный инструмент для анализа сложных семантических связей и расширяет возможности логики и формальной философии в моделировании межмировых отношений.

Далее с курсом «Games on Informational Structures» выступил Денис Федянин. В курсе исследуется роль структур Крипке в моделировании стратегических и наивных взаимодействий агентов с помощью динамической эпистемической логики (DEL). Этот подход особенно полезен для анализа сценариев, где агенты обладают разными уровнями знаний и осведомленности. Основные примеры включают задачу о дне рождения Шерил и игру в русские карты, а также более сложные приложения, такие как протоколы защищённой связи и ИИ.

Динамическая эпистемическая логика предоставляет инструменты для моделирования того, как агенты обновляют свои знания и убеждения в ответ на новую информацию — важный аспект в стратегических ситуациях. Например, в контексте игры в русские карты DEL помогает анализировать поток информации и устанавливать условия, при которых возможна защищённая коммуникация без раскрытия лишней информации. Аналогично, в протоколах защищённой связи DEL позволяет глубже понять, как поддерживать конфиденциальность при успешной передаче нужных сообщений.

Денис Федянин также акцентировал внимание на преобразовании традиционных структур Крипке в обобщённые структуры множественной осведомлённости. Это преобразование упрощает поиск равновесия Бейеса-Нэша, учитывая различные уровни осведомлённости агентов. Обобщённые структуры позволяют агентам принимать стратегические решения, основываясь как на общей, так и на индивидуальной информации, что в свою очередь создаёт мощную основу для рассуждений о равновесии в сложных динамических средах.

Последним докладчиком второго дня школы была Анна Моисеева, которая выступила с курсом «Ситуационная семантика естественного языка».

Ситуационная семантика — это теория значения выражений естественного языка, предложенная Дж. Барвайсом и Дж. Перри, которая использует экстенсиональный подход и подходит для формализации интенсиональных контекстов. Она трактует значение как отношение, в котором ситуации являются основными онтологическими единицами. Основные категории ситуаций: абстрактные, реальные и ход событий, описывающий локализованное в пространстве-времени событие. Каждая ситуация может быть частичной и интерпретируемой по-разному в зависимости от восприятия разных агентов.

Типы ситуаций важны для описания смыслов: 1) дискурсивная ситуация (контекст произнесения); 2) ресурсная ситуация (источник обозначенных объектов); 3) фокусная ситуация (содержание высказывания). Лингвистическое значение зависит от отношений между этими типами ситуаций. Интерпретация формируется через т. н. «якоря», то есть функции привязки к объектам или локациям, задаваемые в соответствии с контекстом.

Примерно в той же логике работают индексикалы — выражения, указывающие на объекты через контекст. Например, фраза "эта собака" будет интерпретироваться в зависимости от фокусной ситуации (на кого именно указывает "эта"). Описание контекста позволяет извлекать значение для более широких ситуаций и учитывать когнитивное содержание высказывания.

В ситуационной семантике важно различать референциальное и атрибутивное употребление: первое указывает на известный объект, тогда как второе добавляет информацию о нем. Также в ней выделяют функциональное употребление, при котором значение выражения применяется не к объекту, а к функции, например, "число спящих людей растет". Эта теория подчеркивает роль агентных вер, которые объясняют поведение в зависимости от интерпретации контекста, как в головоломке Фреге, где различие между именами Цицерон и Туллий приводит к разным когнитивным последствиям.

ДЕНЬ 3: 30.10.2024

На третий день школы Михаил Рыбаков выступил с тремя лекциями по теме «Алгоритмическая выразительность модальных предикатных логик и их фрагментов». Они были посвящены рассмотрению алгоритмических вопросов для классических и неклассических логик и теорий первого порядка.

Лекция 1

Первая лекция началась с введения в язык классической и модальной логики. Были представлены базовые понятия классической логики, первопорядковой модальной логикой, ее язык и семантика Крипке. Классическая модель понимается как пара, состоящая из носителя (непустое множество) и интерпретации. Она дополняется функцией оценки (приписывания, assignment), которая приписывает переменным их значения в носителе. Истинность предиката в такой модели понимается как вхождение в интерпретацию предиката значения соответствующих переменных. Истинность формулы в модели вне зависимости от функции оценки понимается как ее истинность при любой функции оценки. Здесь Михаил Рыбаков ввел обозначения для двух логик, которые будут использоваться на протяжении всего мини курса. Во-первых, это логика QCL, классическая логика предикатов, формулами которой являются формулы, истинные во всех моделях. Во-вторых, это логика QCLfin, логика конечных моделей, где формулы должны быть истинны во всех конечных моделях.

В ходе обсуждения лектор объяснил, что целью является доказательство определенных алгоритмических свойств для как можно более простого языка, поскольку тогда результаты будут более сильные. По этой причине рассматривалась только чистая логика предикатов.

Далее Михаил Рыбаков ввел понятия шкалы Крипке как множества возможных миров с заданной на них отношением достижимости. В модифицированных шкалах добавляется предметная область каждого мира (непустое множество). Также было введено понятие модели Крипке и истинности в такой модели. Лектор также обратил внимание на то, что каждым классам шкал соответствуют определенные аксиомы модальной логики.

После этого доклад перешел к алгоритмической части. Множество слов в некотором алфавите в языке называется разрешимым, если его характеристическая функция вычислима. Оно же будет рекурсивно перечислимо, если существует соответствующая вычислимая перечисляющая функция. Далее лектор перешел к объяснению машин Тьюринга, которые понимаются как модель вычислимости, и проблеме остановки. Он представил важную теорему Успенского-Райса утверждающую, что любое нетривиальное свойство машины Тьюринга неразрешимо. Отсюда Михаил Рыбаков перешел к вариации проблемы остановки в рамках модели домино – проблеме замощения. Модель домино позволяет описать машины Тьюринга через рассмотрение специальных “плиток”, которые могут прикладываться друг к другу в соответствии с определенными правилами. Для этого нужно рассмотреть 4 типа плиток. То, каким образом эти плитки укладываются позволяет описать переход машин Тьюринга от одних состояний к другим в соответствии с заданными инструкциями (этому соответствует переход от одной плитки к другой).

Представив модель домино, Михаил Рыбаков объяснил каким образом алгоритмически свойства проблемы замощения, которая является ко-перечислимой, позволяет охарактеризовать сложность машин Тьюринга. И поскольку машины Тьюринга можно моделировать проблемой домино, то оказывается достаточным рассматривать только эту модель. На второй лекции Михаил перешел к следующей части курса – рассмотрению языка, описывающего модель домино.

Лекция 2

Вторая лекция была посвящена методу Крипке для моделирования атомарных формул с не-унарными предикатными символами.

В начале лекции Михаил Рыбаков ввел перво-порядковый язык, в котором существует бесконечное число унарных предикатных символов и два бинарных предиката. В этом языке выполняется несколько формул, соответствующих правилам замощению плиток. Тем самым было показано, что этот подход, по сути, моделирует указанную проблему формулами классической логики предикатов, а потому проблема выполнимости в такой логике оказывается неразрешимой. В результате предыдущие части лекции курса оказываются достаточными для доказательства Теоремы Черча, так как проблема замощения может быть описана через конъюнкцию формул логики предикатов, а их истинность в модели позволяет получить необходимое замощение. Так как проблема замощения домино является неразрешимой, то и аналогичное оказывается верным для выполнимости формул в представленной логике предикатов QCL. Модификация этого подхода также позволяет получить доказательство теоремы Трахтенброта о рекурсивной неперечислимости логики конечных моделей QCLfin.

Важным является тот факт, что в таком языке используется бесконечное количество унарных символов, два бинарных, а также 3 переменных. Далее Михаил Рыбаков показал, как можно выразить два бинарных символа в данном языке через один. Это позволяет получить усиленные версии теоремы Черча о неразрешимости QCL, а также теоремы Трахтенброта о неразрешимости QCLfin в языке с одним бинарным символом и 3 переменными.

Затем было представлено доказательство разрешимости монадического фрагмента QCL с предикатом равенства и без него. Данное доказательство значимо для формулировки “трюка” или метода Крипке, который связывает модальную часть курса с алгоритмической. Метод Крипке переводит формулы QCL в язык, где два унарных символа и введение модальности позволяет смоделировать бинарный символ из QCL. Фрагмент нового языка с одним унарным символом и тремя переменными оказывается неразрешим. Исходя из этого, Михаил Рыбаков показал, как в модальном языке L можно промоделировать использование трех переменных (что было необходимо в части про домино) к использованию всего двух переменных. Для этого был введен новый унарный предикатный символ C(x), означающий выбор места x в сетке плиток. Это позволяет перейти от кодирования модели домино в классическом языке с тремя переменными к модальному языку с двумя. В итоге, согласно теореме Захарьящева-Куруша-Кончакова, монадический фрагмент нового модального языка также оказывается неразрешимым.

Лекция 3

В начале третьей лекции Михаил Рыбаков напомнил, что в новом модальной языке L все еще присутствует бесконечное количество унарных символов, поэтому далее он перешел к рассмотрению фрагментов с одним унарным символом. Используя трюк Крипке для шкал в классе Скворцова, можно показать, что формула будет принадлежать логике конечных моделей тогда и только тогда, когда ее аналог принадлежит логике конечных шкал класса Скворцова. Такая логика, в свою очередь, содержит только один бинарный предикатный символ. Михаил Рыбаков показал, как можно выразить смоделировать этот бинарный предикатный символ двумя унарными. Если формула с бинарным предикатом выполняется в классической модели, то ее аналог с двумя унарными предикатам выполняется в модели на конечных шкалах Крипке. Как подытожил лектор, мы получаем результат неразрешимости и неперечислимости логик конечных шкал класса Скворцова в языке с унарными предикатными буквами (а также фрагменты языка с одним унарным символом). Важно отметить, что под это условие подпадает большое количество модальных логик, используемых в формальной философии логика не принадлежит конкретной классической модели, то она не принадлежит логике конечных моделей

Отсюда Михаил Рыбаков перешел к последнему шагу моделирования бесконечного множества предикатных символов одним. Для этого оказывается необходимым использовать выразительные возможности модального языка. Конструируя цепочку достижимых возможных миров, удовлетворяющих определенной форме и длине, можно выразить каждую унарную предикатную букву. Число достижимых миров будет соответствовать номеру унарной буквы

Далее докладчик представил следующую важную теорему. При рассмотрении любой логики, где такое моделирование возможно, соответствующий фрагмент с единственной унарной буквой и двумя переменными неразрешим, то есть рекурсивно-перечислимо сложен. Например, это будет выполняться для логик, содержащихся в логике QS5 или логик Гжегорчика, в языке с тремя унарными символами.

Последнюю часть лекции Михаил Рыбаков посвятил логике Нётеровых порядков для того, чтобы продемонстрировать альтернативный подход к получению результат о алгоритмических характеристиках классических и модальных логик. В данном случае докладчик предложил сразу рассмотреть достаточно богатый язык с одним унарным предикатом, где можно будет выразить необходимую систему понятий. Тогда мы определяем в таком языке набор формул A, описывающий отношения между элементами возможных миров через указанные понятия. Как пояснил докладчик, все они, в свою очередь, используют один и тот же унарный предикатный символ. На следующем шаге мы фиксируем семантически определенную логику класса Нётеровых шкал L, где в мирах моделях над такими шкалами выполняется A. Обобщая, имея всего лишь одну унарную букву и модальность, получается, в сущности, система бинарных отношений. Михаил Рыбаков доказал одну из лемм, которая говорит, что такой порядок можно изоморфен порядку на натуральных числах, где возможные миры соответствуют конкретным числам, а их элементы конечным убывающим цепочкам. Это позволяет легко погрузить классическую логику конечных моделей QCLfin, взятой из начала курса, в рассматриваемую новую логику L. Отсюда напрямую следует рекурсивная неперечислимость логики L.

В конце Михаил Рыбаков показал какие известные модальные логики будут соответствовать такому языку L, подытоживая рассмотренные результаты. Неразрешимость логики L возможна при погружении фрагментов языка единственно с унарными предикатными символами. Для этого в таком языке оказывается необходимо иметь всего две переменных чтобы моделировать алгоритмически неразрешимые проблемы.

Лекция 4

Заключительной в 4 день школы была лекция Елены Драгалины-Черной – «Абстрактные логики как структуры и классификации структур».

Логика как формальная эпистемология ориентирована на формальный анализ процедур извлечения логических следствий (а также коррелятивных процедур делиберации, обоснования, опровержения и т. п.). Как формальная онтология она понимается как теория формальных объектов, которая преобразует структурные свойства этих объектов в законы, определяющие формальную корректность процедур, указанных выше.

Например, известный логик Я. Лукасевич рассматривал силлогистику Аристотеля как формальную онтологию. С его точки зрения, это теория отношений A, E, I и O в сфере общих терминов. С точки зрения Т. Смайли и Дж. Коркорана, Аристотеля интересовала скорее проблематика формальной эпистемологии.

Была рассмотрена интерпретация логики как формальной структуры. В таком понимании логика является парой из двух элементов: коллекция формул и отношение следования между теориями (то есть множеством определенных формул) и конкретными формулами или просто между теориями.

Далее Елена Григорьевна перешла к рассмотрению аксиом Тарского для такого рода структур. Тарский определил, что множество формул, замкнутое относительно операции присоединения следствий (отношения логического следования), называется дедуктивной системой. Он также представил три основных аксиомы для абстрактных структур: рефлексивности, транзитивности, монотонности. Тем самым, Тарский положил начало таким разделам математической логики как теория моделей и алгебраическая логика. Также в ходе лекции обсуждалось понимание логик в рамках абстрактной теории моделей, где они могут рассматриваться как классификации абстрактных структур.

Далее Елена Драгалина-Черная перешла к рассмотрению философии Эдмунда Гуссерля. В рамках курса обсуждалась менее известная сторона раннего творчества Гуссерля, когда он был коллегой Гильберта и занимался философией математики. Как утверждает Елена Драгалина-Черная, именно в его ранних работах можно найти идеи, стоящие у истоков теории моделей.

ДЕНЬ 4: 31.10.2024

Эвандро Гомес

Лекция 1

Четвертый день школы начался с первой лекцией курса “Beyond the Columns of Hercules, a History of Paraconsistency: from Heraclitus of Ephesus to Stanisław Jaśkowski and Newton da Costa” Эвандро Гомеса (Evandro Gomes). Лектор начал с определения базовых понятий, связанных с паранепротиворечивостью: традиционные законы логики (закон непротиворечия, исключенного третьего), важные для понимания подходов к паранепротиворечивости, закон ex falso sequitur quodlibet (представляя его в современной нотации как ). И далее обратился к исследованию наличия подобных элементов в античности, уделяя особое внимание таким фигурам, как Гераклит, Парменид, Аристотель, а также стоической школе.

Лектор отметил, что Гераклит считал противоположности неотъемлемой частью природы, утверждая, что истина заключается в гармонии противоположностей. Это привело к интерпретации его идей как паранепротиворечивых, поскольку его концепция допускает существование противоположных качеств в одном объекте или явлении без утраты логической непротиворечивости. Этим лектор подчеркивал, что Гераклит принимал особую форму рациональности, совместимую с неконсистентностью и противоречивостью мира. То есть утверждается, что именно Гераклит первый пришел к идее различия между тривиальностью и противоречивостью, где последняя не всегда влечет первую.

Идеи Парменида, как подчеркнул Эвандро Гомес, представляют собой начало классического подхода к логике и включают строгий отказ от противоречий, который позже стал основой принципа/закона непротиворечивости. В частности, Парменид отстаивает мысль о том, что утверждать существование чего-либо и его отсутствие одновременно невозможно, поскольку это приводит к противоречию, а следовательно, к неразумности. Его учение подразумевает своего рода “протопринцип непротиворечивости”, а также принцип/закон исключенного третьего. Эти идеи стали основой для логических законов, в частности, для закона непротиворечивости, который позже детально развил Аристотель.

Лектор акцентировал внимание слушателей на том, что Аристотель внес свой вклад в развитие логики, особенно в том, что касается использования логического вывода и анализа противоречий. Эвандро Гомес отметил, что Аристотель разработал теорию силлогистики, опираясь на принцип непротиворечивости, однако в его трудах “Первая аналитика” и “Вторая аналитика” есть примеры, предполагающие возможность работы с противоположными и противоречивыми посылками, что может рассматриваться как зачаток паранепротиворечивой логики. В “Первой аналитике” Аристотель приводит случаи силлогизмов, которые допускают истинность выводов из противоположных (противоречивых) посылок, а именно формулирует силлогизмы с двумя терминами во второй и третьей фигурах в модусах с отрицательными посылками. Во “Второй аналитике” Аристотель уточняет, что принцип непротиворечивости не является обязательным для всех научных силлогизмов. Схемы вывода, которые предполагают использование противоречивых посылок, поддерживают дедуктивную силу силлогистики, не сводя ее к произвольности и избегая тривиальности, что делает аристотелевскую теорию “логически устойчивой” (нетривиальной) даже при наличии противоречий в определенных рамках.

Эвандро Гомес указал, что стоики предложили подход, который частично пересекается с паранепротиворечивостью, хотя они не использовали эту концепцию в полном объеме. Логика стоиков основывалась на разработке сложных условных выражений и парадоксов, что позволяло рассматривать противоречивые утверждения без полной логической тривиализации системы. Центральное место в этом подходе занимала работа Хрисиппа, который разработал методы логического анализа парадоксов и строил защиту против их превращения в тривиальные истины. Стоики уделяли внимание анализу условных утверждений, способных выразить логические связи без привязки к строгому принципу непротиворечивости. Эвандро Гомес подчеркнул, что подход Хрисиппа можно условно классифицировать как паранепротиворечивый в обощенном смысле.

Лекция 2

Во второй лекции курса “Beyond the Columns of Hercules, a History of Paraconsistency: from Heraclitus of Ephesus to Stanisław Jaśkowski and Newton da Costa” Эвандро Гомес акцентирует внимание на разработке идей паранепротиворечивости в средневековой логике на материале трудов Боэция, Иоанна Солсберийского, Петра Абеляра, Уильяма Оккама, Псевдо-Скота и других позднесредневековых логиков, богословов и философов, особенно в аспекте принятия/непринятия принципа ex falso sequitur quodlibet, его интерпретаций и формулировок, а также затрагивает позднее Новое время и начало XX века. Лектор отметил, что в трудах Боэция можно найти много свидетельств как за, так и против принятия тезиса ex falso quodlibet, причем именно Боэций обратил внимание на пассаж Аристотеля из “Первой аналитики”. Первыми авторами в средневековой логике, кто активно обсуждает принцип ex falso, были Герланд Безансонский и Петр Абеляр, а сам принцип в известной формулировке ввел, по всей видимости, Иоанн Солсберийский.

Эвандро Гомес отметил, что Петр Абеляр продвинул идеи паранепротиворечивости, предложив ограничить действие ex falso quodlibet. Средневековый философ считал, что противоречия не обязательно должны вести к полной логической тривиализации. Как отметил лектор, в средневековой логике также были философы, защищавшие принцип ex falso, например Адам из Балшама и его последователи, защищавшие идею, что противоречие ведет к единому заключению. Лектор в дополнение отмечает важный факт: исторически некорректно атрибутировать первую формулировку и “доказательство” принципа ex falso Уильяму Суассонскому (гипотеза Грэма Приста), Дунсу Скоту, Псевдо-Скоту или Иоанну Корнуоллскому (гипотеза Филотеуса Боэнера). Различные позиции в средневековой философии подготовили почву для появления паранепротиворечивой логики, открыв пути к более современным концепциям логического противоречия и его роли в формировании логических систем.

В завершение лекции Эвандро Гомес представил идеи Г.В.Ф. Гегеля, И. Канта, а также русского логика и философа Н. А. Васильева. И. Кант подчеркивал важность принципа непротиворечия как необходимого условия для истины и знания, однако он считал его лишь необходимым, а не достаточным условием. В контексте паранепротиворечивости подход Г.В.Ф. Гегеля к противоречиям позволяет рассматривать их как структурные компоненты, которые могут сосуществовать, не разрушая логическую и философскую целостность системы: в его философии противоречие становится не проблемой, а необходимым элементом, который приводит к синтезу более высоких понятий. Николай Васильев направляет свою критику против традиционных законов непротиворечия и исключенного третьего в рамках своей воображаемой логики, формулируя неаристотелевскую силлогистику, в которой данные принципы оказываются необщезначимыми. Как отметил Эвандро Гомес, подобный подход (но уже из другой перспективы) также реализовывает Я. Лукасевич с созданием многозначной логики в 20-х гг. XX в.

Марсело Э. Конильо

Лекция 1

В первой лекции курса под названием “Non-Deterministic Matrices and Swap Structures Semantics: Applications to Non-Classical Logics and Combination of Logics” Марсело Эстебан Конильо (Marcelo Esteban Coniglio) осветил подход к исследованию семантики с помощью так называемых недетерминированных матриц (N-матриц), определенных А. Авроном и И. Левом, применяя их для анализа логик формальной несогласованности (а именно логики семейства LFI, logic of formal inconsistency) и класса ненормальных модальных систем, описанных российским логиком Ю.В. Ивлевым в 70-е гг. XX в.

Мотивация для обращения к подобным матрицам лектором обосновывается следующими фактами: как было показано К. Геделем в 30-е гг., интуиционистская логика, являясь разрешимой теорией, не может быть охарактеризована конечнозначными логическими матрицами, и тот же факт, как было показано Дж. Дугунджи в 40-е гг., имеет место в отношении модальных логик К.И. Льюиса S4 и S5. Это же касается системы паранепротиворечивых логик Н. да Косты, логик из семейства LFI, модальных логических теорий Ю.В. Ивлева. Тем самым возникает вопрос: возможно ли охарактеризовать указанные типы логических систем посредством такого рода матриц, из которых мы сможем извлечь разрешающую процедуру, позволяющую установить факт общезначимости произвольной формулы в их языках?

Для ответа на этот вопрос лектор ввел понятие недетерминированных матриц, отличающихся от стандартных тем, что в качестве значений для функций истинности могут выступать непустые подмножества истинностных значений (носителя матрицы). Также стоит отметить понятие swap-структуры, специальный вид недетерминированной (мульти)алгебраической структуры, позволяющий логикам обрабатывать противоречия без взрывного эффекта, то есть без вывода любого утверждения из противоречивых посылок. Марсело Конильо ознакомил слушателей с гильбертовскими формулировками систем LFI, впервые предложенными для моделирования неклассических логик с невзрывным отрицанием и оператором согласованности (обозначается как ◦). Эти логики позволяют контролируемо обходить эксплозивные инференции (а именно таких, в которых из противоречивых утверждений можно вывести любое высказывание) за счет добавления операций, ограничивающих выводы из противоречивых утверждений.

Основная особенность данных логик состоит в том, что они позволяют различить понятие противоречивости (contradiction) и понятие несогласованности/неконсистентности (inconsistency). Самой слабой логикой в данной иерархии, строящейся исходя из исходных интуиций Н. да Косты, в соответствии с которыми паранепротиворечивые теории должны минимально возможным образом отличаться от классических, является логика mbC, формализуемая посредством добавления к схемам аксиом позитивного фрагмента классической пропозициональной логики схемы закона исключенного третьего и схемы bc1 ◦A→(A→(¬А→В)) , фиксирующей контролируемый принцип взрыва для всех согласованных/консистентных формул. Для отрицания и оператора согласованности вводятся неклассические определения истинности, допускающие индетерминизм в оценке их истинности или ложности, вычленяемые из добавленных схем аксиом, характеризующих логику mbC. Так, если произвольная формула А ложна, из закона исключенного третьего следует истинность формулы ¬А (однако истинность А не влечет ложности ее отрицания, поэтому мы можем приписать последней формуле как оценку “истина”, так и оценку “ложь”); если же формула ◦A истинна, по аксиоме bc1, должно быть верным, что либо формула А, либо ее отрицание ложно (если же формула с оператором согласованности истинна, мы не можем получить детерминированное значение). Марсело Конильо отметил, что исчисление mbC корректно и полно относительно предложенной недетерминированной семантики, и предлагает рассмотреть несложный пример, демонстрирующий индетерминизм в оценке формул.

Во второй части своего курса Марсело Конильо вновь обратился к семантическим сюжетам, строго определяя понятие недетерминированной матрицы, условия истинности посредством истинностных таблиц для паранепротиворечивого отрицания и оператора согласованности, сравнивая эти модели с квазиматрицами, введенными Ю.В. Ивлевым, а также рассматривая квазиматричные модальные логики, в которых оказывается возможным воспроизведение оператора согласованности посредством комбинации оператора необходимости и отрицания. В завершение лектор формально задал уже упоминавшиеся swap-структуры, определяя их как шестёрку, имеющую в качестве первого компонента носитель мультиалгебры, являющийся подмножеством третьей декартовой степени носителя произвольной булевой алгебры, удовлетворяющей условиям (1) x ∨ y = 1 и (2) x ∧ y ∧ z = 0 (то есть является множеством троек элементов носителя A булевой алгебры с дополнительными условиями), а в качестве остальных компонентов — мультиоператоры конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания и совместности, принимающие в качестве значений, соответственно, результат применения двухместных булевых операций для первых компонент троек носителя swap-структуры, вторую компоненту тройки — для отрицания, третью компоненту тройки — для оператора совместности. Элементы носителя swap-структуры называются кадрами (snapshots). Тем самым в swap-моделях каждый элемент (значение формулы) описывается тройкой значений (z1, z2, z3), где:

z1 отражает истинность самой формулы;
z2 определяет значение ее отрицания;
z3 задает значение для оператора согласованности ◦, который определяет, можно ли считать утверждение согласованным (консистентным).

Виталий Долгоруков

Лекция 2

В начале второй лекции курса “Модальная логика предикатов: три варианта семантики и теорема о полноте” Виталий Долгоруков кратко напомнил слушателям формализованный язык, включающий в качестве нелогических терминов предикатные символы, а также предметные переменные, и аксиоматическое исчисление базовой предикатной модальной логики Q⁼K с равенством, семантика которой адекватно задается моделями с растущими предметными областями и в которой опровергается формула Баркан (BF). После презентации синтаксиса в качестве упражнения лектор предложил присутствующим обосновать обратную формулу Баркан в описанной теории, в том числе саму формулу Баркан в стандартном расширении Q⁼K схемой аксиом симметричности B в форме A → □◇A, то есть в логике Q⁼KB.

Затем Виталий Долгоруков перешел к основной цели своих лекций, а именно обоснованию теорем о семантической полноте определенных ранее базовых предикатных модальных логик, начав с теоремы о полноте для логики с постоянными доменами, где объединяются подходы к доказательству теоремы о полноте для классической предикатной логики и для пропозициональных модальных логик. Лектор ознакомил слушателей с концептом и определением, необходимыми для доказательства, а именно ∀-свойством (свойством Хенкина) теорий Г, релятивизированным относительно произвольного множества предметных переменных V и утверждающим наличие формулы ∀xA в Г при условии наличия для каждой переменной v из V формулы А(v/x) в Г.

Были предложены эквивалентные формулировки данного свойства и обоснована выводимость схемы ∃x(A(x) → ∀yA(y)), играющая существенную роль в дальнейшем анализе лемм и теорем. Лектор обсудил особенности и идею доказательства теоремы о полноте в случае с постоянными доменами, а после сформулировал и доказал важную лемму о расширении некоторого максимального непротиворечивого множества Г с ∀-свойством относительно множества предметных переменных V непротиворечивой теорией Δ, имеющей свойство Хенкина относительно множества V и содержащей формулу ¬A вместе с множеством #Г, – представляющем собой все такие формулы B, для которых верно □В ∈ Г, – при условии наличия во множестве формулы вида ¬□А. Виталий Долгоруков указал на необходимость этого утверждения при обосновании леммы об истинности для случая с оператором □ при принятии стандартного определения канонической модели. В процессе доказательства леммы о расширении лектор демонстрирует, как используется формула Баркан в случае обоснования непротиворечивости отдельных множеств Г_n в аналоге конструкции Линденбаума, и отмечает особенность леммы в обеспечении условия наличия ∀-свойства для одного и того же произвольного множества предметных переменных V.

Лекция 3

Третья лекция Виталия Долгорукова продолжилась доказательством теоремы о семантической полноте методом Хенкина для предикатной модальной логики с формулой Баркан, то есть для логики с постоянными доменами, без равенства. Идея доказательства, как отмечает лектор, будет состоять в том, что для некоторой невыводимой формулы A в данной логике специальным образом конструируется такая модель, называемая канонической, в которой будет опровергаться A, откуда, по контрапозиции к этому метаутверждению, будет следовать теорема о полноте. Описав идею доказательства, Виталий Долгоруков перешел к дефинициям канонической шкалы (W^c, R^c), канонического скелетона (W^c , R^c , D^c) и канонической модели (W^c , R^c , D^c, I^c ).

Каноническую шкалу лектор определил стандартным для модальной логики образом с некоторыми модификациями: возможные миры в каноничной шкале объявляются максимальные непротиворечивые множества формул соответствующего языка, обогащенного счетным множеством предметных переменных, обладающие ∀-свойством относительно этого счетного множества V⁺. Лектор указал, что множество V⁺ вводится для того, что обеспечить “свидетелем” каждую формулу, имеющую в качестве главного знака универсальный квантор, причем доказанная на предыдущей лекции лемма о расширении будет обеспечивать наличие свойства Хенкина относительно этого бесконечного множества переменных при переходе от одного канонического мира к другому. Непустым носителем интерпретации D^с объявляется само множество V⁺. Каноническая интерпретация для атомарных формул, означивания переменных и лемма об истинности были доказаны стандартным образом. Лектор также продемонстрировал, как можно определить каноническую модель в случае наличия в языке предиката = и доказать лемму об истинности.

Во второй половине лекции Виталий Долгоруков перешел к обсуждению теорем о полноте для предикатных модальных логик с растущими и переменными доменами. Лектор отметил, что в канонических моделях такого типа логик не будет обязательным условие сохранения одного и того множества переменных для различных миров, однако для логик с растущими доменами обязательна сохранность множества переменных, ассоциированных с миром w, при переходе от мира w к миру w₁ по отношению достижимости. Для обеспечения этого условия лектор показал, как можно модифицировать каноническую модель для логик с постоянными доменами, введя понятия множеств переменных относительно мира w (V_w), являющихся промежуточными по включению между старым множеством переменных V и счетным множеством V⁺, а также понятия пар вида <V, S>. Они представляют собой миры канонической шкалы, где первая компонента пары есть промежуточное множество переменных какого-либо мира, а вторая компонента S – максимальное непротиворечивое множество формул с ∀-свойством относительно V. Каноническое отношение достижимости при таком понимании будет представлять собой множество пар миров <V, S> и < V₁, S₁>, т. ч. V ⊆ V₁, причем V₁ \V счетно, #S ⊆ S₁, а домены миров суть множества V_Г, то есть являются первыми компонентами пар. В заключение лектор сформулировал лемму о расширении и показывает особенности ее доказательства с учетом предложенных модификаций, задействуя аналог конструкции Линденбаума (называя ее леммой Линденбаума-Хенкина).

ДЕНЬ 5: 01.11.24

Лекция 1

На первых двух докладах пятого дня осенней школы выступал Марсело Эстебан Конильо. Продолжая первую часть своего мини-курса «Non-Deterministic Matrices and Swap Structures Semantics: Applications to Non-Classical Logics and Combination of Logics», профессор Конильо рассказал об ограничениях N-матриц, препятствующих выражению, например, семантики для нормальных модальных логик. Для преодоления данного ограничения вводится дополнительный класс матриц, RN-матрицы (Restricted Non-deterministic matrices), которые отличаются от N-матриц добавленными в их структуру подмножествами всех её оценок, замкнутого относительно подстановок. Одним из интересных результатов этого нововведения профессор Конильо видит возможность задать семантику для иерархии паранепротиворечивых логик Cn Ньютона да Косты при помощи RN-матриц. Также в рамках доклада подробно обсуждалась разрешимость Cn, а в заключение профессор Конильо указал на возможность переопределения понятия таблиц истинности при помощи разрешимых RN-матриц.

Лекция 2

Последняя часть доклада профессора Конильо была посвящена специальному методу алгебраического комбинирования логических структур при помощи пучков (fibring). Профессор Конильо также подробно обсудил структуры замены (swap structures), построенные на двухоценочной (bivaluation) семантике. Эти структуры позволили обобщить объединение логик, рассмотренных ранее, таких как Tm с mbC (включая расширения), и модальной логики Ивлева с LFI. В дополнение к этому было показано, как применение пучков (fibring) сохраняет полноту и корректность для соответствующих логик.

Лекция 3

Третий доклад стал завершающим в мини-курсе «Beyond the Columns of Hercules, a History of Paraconsistency: from Heraclitus of Ephesus to Stanisław Jaśkowski and Newton da Costa», прочитанном Эвандро Гомесом. Доклад начался с краткого обзора направлений развития философии Нового времени и логики. Здесь докладчик подробно остановился на фигуре Павла Флоренского, выдвинувшего идею создания формальной логики антиномии, которую русский философ считал носителем истины как таковой. Далее Эвандро Гомес рассказал о проектах неклассических логик, работающих с противоречиями более аккуратно, чем классические. Были освещены проекты интуиционистской логики и этапы развития паранепротиворечивых логик, начиная с С. Яськовского и заканчивая Ньютоном да Костой, разработавшим иерархии паранепротиворечивых систем.

Лекция 4

Последние два доклада осенней школы прочитала Итала Лоффредо Д’Оттавиано. Первая часть её выступления была посвящена Ч. С. Пирсу: после краткой исторической справки профессор Итала рассказала о его проекте трёхзначных матриц, выражающих идею таблиц истинности с тремя значениями — истина, ложь и неопределённая степень истинности. Пирсом также были сформулированы правила двойственности для набора бинарных и унарных операторов, определяемых через такие матрицы. Ключевым достоинством этих матриц была названа возможность выражения условий истинности в трёхзначных логиках, например, в логике Лукасевича. Значительную часть доклада занимает сравнение логики Лукасевича L3 и авторской логики профессора Италы и Н. да Косты при помощи данных матриц, которые позволяют не только последовательно описать структурные отличия этих систем друг от друга, но и распространить данный результат на любую n-значную логику.

Лекция 5

Второй доклад профессора Италы был посвящён одному из величайших русских математиков — Андрею Колмогорову. Здесь акцент был сделан на его работе 1925 года «О принципе tertium non datur», в которой Колмогоров критически анализирует применение закона исключённого третьего в трансфинитной математике и рассматривает две формальные системы, соответствующие теориям доказательств Гильберта и Брауэра. Одной из ключевых особенностей такой формализации является возможность построения функции перевода формул из классической логики в интуиционистскую, за счёт того, что их различия сводятся к единственной аксиомной схеме. Далее на докладе подробно были освещены свойства этих систем, идея построения первопорядковой интуиционистской теории, предполагаемой Колмогоровым. Наконец, также были сделаны выводы относительно связи его идей с паранепротиворечивыми логиками.

Отзывы участников школы

Ульяна Пензина

Очень понравилась организация по времени и разнообразию лекций, после каждого занятия перерыв — соразмерный тому, чтобы была возможность переработать полученную информацию. Мне была очень важна междисциплинарность представленных курсов, хотелось бы особенно отметить курсы Е. В. Борисова, А. Ю. Моисеевой и М. Н. Рыбакова, которые представили важные идеи для моей научной работы. Кроме того, я благодарна уникальной возможности послушать курсы на английском и обменяться опытом с коллегами из Бразилии. Также, отмечу приятное неформально общение между лекциями, что способствует еще большему погружению в обсуждения.

Индира Мухаметшина

Это была моя первая осенняя школа и это исключительно позитивный опыт (такая же крутая как летние, только осенняя). Хочется сказать спасибо организаторам за организацию столь масштабного мероприятия (а точнее серии мероприятий) и за насыщенную и разнообразную программу, в которой, как мне показалось, каждый студент смог найти что-то новое для себя (в моем случае нового было очень много). Было благостно и весело! Надеюсь на продолжение славной традиции школ!

Арсентий Тимохин

Осенняя школа в Вышке — это прекрасный способ провести время в кругу друзей за обсуждениями логики и математики, посмотреть на то, что делают коллеги (в том числе иностранные), открыть для себя новые области исследования и просто получить интеллектуальное удовольствие от освежающего разум ветра новых идей. Слышать о том, чем ты никогда не занимался, — это вызов, который всегда приятно принять. Отдельно хотелось бы отметить доклады на постерной секции — скажу честно, сам формат проведения секции был для меня открытием: я почувствовал себя созерцающим полотна в картинной галерее.

Рамиль Билалов

Прошедшая осенняя школа «Логика и формальная философия 2024» была организована на высшем уровне. Серия лекционных мероприятий позволила не только развить и углубить знания участников, но и представить наиболее современные подходы логической мысли. Лекции проводились как на русском, так и на английском языке. Среди числа специалистов, читающих лекции, были зарубежные специалисты, которые рассказывали про историю параконсистентных логик, «семантику недетерминированных матриц» и про горизонты логики 20-го века. Остальные участники школы также оставили приятные впечатления. Они продемонстрировали высокий уровень подготовки, демонстрируя свои постеры. Подобные мероприятия необходимо проводить и дальше, наращивая культуру логической мысли и организовывая соответствующие сообщества.

Дата

5 ноября

Авторы