Весенняя школа «Логика, лингвистика и формальная философия»
С 23 по 28 марта проходила весенняя школа «Логика, лингвистика и формальная философия».
Школа «Логика, лингвистика и формальная философия», уже шестая по счету, прошла весной 2026 года с 23 по 28 марта. Первый день школы открылся курсом индийского исследователя Санха Басу на тему «Paraconsistency: An overview of its history and motivations followed by an exposition of the new syntax independent approach to it». На первом занятии своего курса лектор сделал краткое введение в тему паранепротиворечивых логик, которая красной нитью проходила через все дни школы. Напомним, что такие логики пытаются избавиться от тривиальности в принципе логического взрыва (из противоречия следует что угодно).
Паранепротиворечивые логики, как подчеркнул Санха Басу, необходимы в самых разных теоретических областях. Системы с этим свойством позволяют считаться с парадоксами наивной теории множеств (парадокс Рассела и Греллинга-Нельсона), решать моральные дилеммы, в которых реальность прямо расходится с нашими представлениями, а также анализировать дискуссии, когда сталкиваются противоположные и противоречивые убеждения. Для анализа таких систем лектор ввел разделение на сильную и слабую паранепротиворечивость. Слабая версия этого свойства просто запрещает логический взрыв, тогда как сильная предполагает, что противоречия иногда необходимы для правильного описания мира. В заключение первой лекции Санха Басу коснулся изучения паранепротиворечивости в истории западной философии и логики у Майнонга, Лукасевича и Яськовского, про которых будут говорить и другие лекторы на школе.
На второй лекции этого курса слушатели познакомились с более современными исследованиями паранепротиворечивости. Санха Басу рассказал об адаптивной логике, релевантной логике Белнапа, C-системе бразильского логика Ньютона да Косты и логиках формальной противоречивости LFI (logics of formal inconsistency). Отдельный акцент был сделан на истории восточной философии, где исследования паранепротиворечивости начались столетиями раньше, чем в европейской традиции. Так, в логике, разработанной основателем джайнизма Махавирой (VI в. до н. э.) и 4-значной буддистской логике Нагарджуны (основатель школы «срединного пути» II–III вв. н. э.) уже можно проследить первые попытки аналитической работы с противоречиями.
Затем Санха Басу коснулся вопроса разработки паранепротиворечивых логик. Лектор подчеркнул, что для этого недостаточно просто отбросить логический взрыв. Необходимо переработать так называемый дизъюнктивный силлогизм (умозаключение вида: а ∨ б, ¬а ⊢ б), чтобы сохранить монотонность и транзитивность логики одновременно с правилом введения дизъюнкции. Но поскольку импликацию можно представить в виде дизъюнктивного суждения, то и она требует переработки и нового понимания. Поэтому паранепротиворечивые логики могут добавлять новые истинностные значения (трехзначная логика Клини, четырехзначная логика первопорядкового следования FDE) или вводить особый оператор непротиворечивости «круг» ○A как это делают в логике LFI. Подобные логики можно применять, например, в моделировании рассуждений и обучения (в том числе для ИИ), в ходе которого пересмотр прошлых убеждений неизбежно означает столкновение противоречивых формул.
Третья лекция Санха Басу была посвящена логике vD, собственной разработке докладчика, в которой решается проблема тривиальности при помощи т. н. неопределенной дизъюнкции (vD – vague disjunction). В логике vD не работает принцип исключения дизъюнкции, как и законы дистрибутивности. Лектор доказал сильную полноту своей логики с оператором консистентности и особым паранепротиворечивым отрицанием ~. Также в ходе лекции слушателям была представлена топологическая семантика для этой логики, представляющая из себя кортеж двух элементов: топологической структуры и функции оценки на эту структуру.
Наконец, на последней лекции своего курса, которая стала заключительной для всей весенней школы Санха Басу представил свою совместную работу с другим лектором и сотрудником МЛ ЛогЛинФФ Сайянтаном Ройем. Занятие было посвящено принципу взрыва в паранепротиворечивой и универсальной логике с семантической перспективы. Санха Басу представил таксономию принципов ECQ (ex contradictione sequitur quodlibet), в которой выделил 5 основных видов логического взрыва. Как мы увидим далее, данная тема хорошо обобщала всю школу, потому что тема противоречия рефреном повторялась во многих других курсах.
Бразильский исследователь Фабио Бертато выступил онлайн с лекцией «Toward an Algebraic Thomistic Metaphysics». В ходе своего выступления он представил формальный фреймворк для схоластической метафизики и онтологии томизма, опираясь на статью Уве Майкснера «Ontologie, Metaphysik und der ontologische Idealismus». С помощью метода логической реконструкции Фабио Бертато перевел концепцию средневековой философии на формальный язык, чтобы эксплицировать ее структуру и устранить возможные двусмысленности. Объекты томистской онтологии лектор предложил рассматривать как композицию сущностных аспектов или неотъемлемых свойств. Например, сущность как принцип единства формы и материи (гилеоморфизм) для объекта x в этой системе представлен как сумма: w(x) = f(x) + m(x) и так далее.
Фабио Бертато усовершенствовал изначальный проект Майкснера, предложив рассматривать аспекты вещей как квантифицируемые элементы домена, а их композицию как особую алгебраическую структуру. Тогда схоластическую метафизику можно будет представить в виде первопорядковой теории с алгебраической и онтологической интерпретацией. В ходе своего сообщения лектор формально выразил аксиомы данной системы, и описал композиции основных объектов онтологии: Бога, ангелов, людей, материальных вещей.
Эвандро Луис Гомес прочитал курс, посвященный истории логики о мыслителях близких идее паранепротиворечивости. В своей первой лекции он представил логическое учение Павла Флоренского, опираясь прежде всего на работу «Столп и утверждение истины». В «логических» частях этого сочинения Флоренского волнует прежде всего проблема подлинного критерия для обоснования истины, и вытекающего отсюда скептицизма. Русского философа не устраивало формальное обоснование на основе законов классической логики, потому что такое утверждение как закон тождества полностью лишено содержания. Более того, сама действительность во всем своем разнообразии скорее говорит «нет» закону тождества. Вокруг нас мы не встречаем тождественных вещей, но наоборот, постоянно сталкиваемся с противоречиями. Поэтому источник истины, Истина с большой буквы, по Флоренскому имеет антиномичную природу. Как продемонстрировал Эвандро Луис Гомес, такие пассажи ставят Флоренского в самый исток паранепротиворечивой логики, в соответствии с духом того времени, когда разными мыслителями подрывались основы классической логики, в предчувствии логического плюрализма.
Во второй лекции Эвандро Гомес рассказал о паранепротиворечивости в трудах Людвига Витгенштейна. Особый акцент лектор сделал на логическом взрыве в раннем периоде творчества философа, прежде всего в «Логико-философском трактате». Несмотря на то, что Витгенштейн в ранний период представляет логические связки в классическом прочтении и рассматривает суждения с позиций композициональности, его подход к противоречиям был довольно необычным. В частности, австрийский философ проводил параллель между противоречиями и тавтологиями, подчеркивая их общее свойство: бессмысленность из-за отсутствия связи с реальным положением дел в мире. Также поскольку логическое следование Витгенштейном понимается как включенность консеквента в антецедент, то его логика перестает быть тривиальной, и делает шаг в сторону паранепротиворечивости. В средний и поздний период фокус Витгенштейна смещается в сторону прагматического рассмотрения противоречий. Он пишет, что от противоречий надо отказываться не потому, что они ломают логическую систему, но потому что они попросту бесполезны для наших языковых игр. В конце лекции, Эвандро Гомес сделал вывод, что Витгенштейн, конечно, не паранепротиворечивый логик в собственном смысле слова. Однако его можно внести в ряды предшественников этой школы как по духу, так и исторически, поскольку Ньютон Да Коста испытал влияние Карнапа, который был учеником Витгенштейна.
Заключительной в историческом курсе Эвандро Гомеса стала лекция «Stanisław Jaśkowski: the first paraconsistent logic by a paraconsistent logician». Станислав Яськовский учился у Яна Лукасевича в Варшаве и активно занимался изучением противоречий и систем натурального вывода. Именно Яськовский был первым, кто начал исследовать феномен тривиализации логики. Его волновала прежде всего «переполненность» импликации p → (¬p → q). Яськовский пытался создать исчисление, которое отвечало бы трем свойствам: 1) применимо к противоречивым системам без переполнения; 2) достаточно богато для практических выводов; 3) имеет интуитивное обоснование. Такой системой стала его дискуссивная логика D2, основанная на модальном исчислении М2. В ней главной особенностью становится дополнительное дискуссивное прочтение импликации p →d q := ◊p → q, что значит «если возможно, что p, то q». В этой системе одновременно сохраняется закон противоречия и импликативная нетривиальная версия взрыва, поэтому ее можно назвать паранепротиворечивой. Как подчеркнул Эвандро Гомес, система Яськовского – первая паранепротиворечивая система пропозициональной логики, которая намеренно сконструирована для противоречивых систем.
Лекции Италы Д’Оттавиано продолжали тему истории логики. Ее первое сообщение на школе «Ivan E. Orlov: relevance, intuitionism, modality, and paraconsistency» было посвящено малоизвестному, но чрезвычайно значимому русскому логику Ивану Орлову, чьи идеи на десятилетия опередили своё время. Орлова интересовало прежде всего отношение совместимости между суждениями. Кульминацией его исследований в этой области стала статья 1928 года «Исчисление совместимости предложений». Как показала Итала Д’Оттавиано, эта работа содержала первую в истории аксиоматизацию релевантной логики, а также за пять лет до знаменитой работы Гёделя предложила интерпретацию интуиционистской логики в модальной логике S4. У Орлова импликация требует «связи по смыслу» между антецедентом и консеквентом, что делает недействительными такие классические принципы как p → (¬p → q) или закон исключённого третьего. Используя модель Раутли-Майера, Д’Оттавиано продемонстрировала, что система Орлова (особенно её модальное расширение ORS4) является паранепротиворечивым в широком смысле. Тем не менее, лектор резюмировала, что мотивы Орлова были связаны исключительно с интуиционизмом и релевантностью, поэтому его нельзя назвать паранепротиворечивым по его убеждениям.
Вторая лекция «Dmitry A. Bochvar: Bochvar: nonsense and paraconsistency?» касалась философской и логической значимости работ Дмитрия Бочвара. По мнению Италы Д’Оттавиано, Бочвар предлагает особое исчисление чтобы разрешить парадоксы, которые в сути своей бессмысленны. Для этого русский ученый ввёл систему с двумя типами связок: внутренними (классическими) и внешними (неклассическими). Внутренние связки работают стандартно на значениях «истина» (T) и «ложь» (F), но если хотя бы один элемент бессмыслен, вся формула становится бессмысленной (N). Внешние же связки позволяют высказывать осмысленные суждения о бессмысленности: например, утверждение «A бессмысленно» (↓A) истинно тогда и только тогда, когда A принимает значение N. Итала Д’Оттавиано считает, что систему Бочвара нельзя назвать паранепротиворечивой в обычном смысле: третье значение N не является выделенным, и мы не можем найти такую пару формул А и не-А, которые обе были бы истинны в одной оценке. Однако сам Бочвар стремился показать, что даже при наличии сильнейших противоречий (парадоксов) его расширенное функциональное исчисление остаётся непротиворечивым и нетривиальным. В этом смысле Бочвар, наряду с Колмогоровым и Орловым, должен считаться одним из пионеров этой школы логики, хотя сам он, вероятно, не осознавал своего вклада в это направление.
Заключительный доклад Италы Д’Оттавиано в исторической серии был посвящен творчеству шведского логика Сёрена Халдена и его «логике бессмыслицы» (The Logic of Nonsense). Лектор начала с исторической справки: в середине XX века Халден, известный своими работами по теории принятия решений и этике, предложил оригинальный способ борьбы с логическими парадоксами. В отличие от расселовской теории типов, Халден сосредоточился на различении осмысленных и бессмысленных высказываний. Для Халдена парадоксальные предложения – не ложные, а именно несигнификативные (бессмысленные) утверждения. Это позволило ему построить формальную систему, в которой истинностное значение и наличие смысла оказались разделены. Итала Д’Оттавиано подробно разобрала формальный аппарат системы C и трёхзначную матрицу, введённую автором: значения «истина», «ложь» и «бессмысленность». Ключевой инновацией стало ослабление принципа модус поненс, которое запрещало выводить заключение, если в нем встречались «открытые» (open) переменные из посылки, оказавшиеся «покрытыми» (covered) оператором осмысленности +. Это техническое ограничение, по мысли лектора, придаёт логике Халдена не только паранепротиворечивый, но и релевантный характер: импликация требует содержательной связи между антецедентом и консеквентом.
В последний день школы Итала Д’оттавиано выступила с сообщением «Translations between Logics», посвященным её актуальному исследованию переводов между логиками. Лектор формально определила логический перевод следующим образом: t будет переводом между формальными языками А и B, если и только если для каждого Г ⋃ {α} ⊆ Form(A) – Г, А ⊢ α подразумевает t(Г, B) ⊢ t(α). Это условие сохранения выводимости лежит в основе разных типов переводов. Консервативный перевод требует двустороннего сохранения выводимости и способен переносить нетривиальность исходной логики в целевую, но не сохраняет тривиальность. Контекстуальный перевод сохраняет заданные метасвойства (например, тривиальность), а абстрактный контекстуальный перевод не сохраняет ни тривиальность, ни нетривиальность. Д’Оттавиано подчеркнула, что эти понятия образуют иерархию: консервативные переводы являются частным случаем абстрактно-контекстуальных, а те, в свою очередь, вписываются в общую теорию переводов. Особое внимание было уделено категориальному анализу: класс логик с переводами образует биполную категорию, а её подкатегории (консервативные, контекстуальные переводы) наследуют полноту и копределы, что открывает путь к универсальному языку сравнения логических систем.
Андрей Кудинов выступил на школе с курсом о топологической семантике применительно к эпистемической логике. Исторически именно такая семантика предшествовала семантике возможных миров Крипке, которая была разработана только в начале 60-х годов XX века. Как и шкалы Крипке топологическая модель для эпистемической логики представляет собой кортеж из двух элементов (Χ, τ), где X – это множество, а τ – топология, такая что:
1) ∅, Х ∈ τ; 2) τ замкнута по конечным пересечениям; 3) τ замкнута по произвольным объединениям. Эпистемические свойства в топологической семантике выражаются с помощью двух операторов внутренности и замыкания: Int(A) и Cl(A), соответственно. На первой лекции Андрей Кудинов рассмотрел формулы Куратовского, аксиомы логики S4, выраженные в топологической семантике. Например, формуле T, выражающей свойство фактичности будет соответствовать Int(A) ⊆ A, а формуле 4, выражающей позитивную интроспекцию – Int(A) ⊆ Int(Int(A)).
Вторая лекция Андрея Кудинова была посвящена логикам, находящимся в диапазоне между S4 и S5. Такие логики получаются за счет прибавления к S4 дополнительных аксиом, характеризующих знание. Сперва лектор разобрал аксиому А2 или аксиому Черча-Россера (◊□p → □◊p). Логика S4.2 в топологической семантике, как доказал Андрей Кудинов, будет полной относительно экстремально несвязного пространства, где замыкание любого открытого множества является тоже открытым. Аксиома же А3, которая в шкале определяет свойство «полуевклидовости», соответствует наследственно максимально несвязному пространству, то есть такому, где все подпространства будут максимально несвязными. Затем Андрей Кудинов также коснулся вопроса о доксатических операторах мнения/убеждения агента. На лекции были рассмотрены аксиомы о соотношении веры и знания, которые складываются в логику KD45. Эта логика будет полной относительно всех топологических пространств с минимальной топологией без изолированных точек. Закончилась лекция обсуждением спорных аксиом Столнейкера о мнении, прежде всего аксиомы сильного знания (Bp → BKp).
На третьей и последней лекции Андрей Кудинов рассказал участникам школы о возможностях моделирования мультиагентной логики и публичного объявления в топологической семантике. Знание двух агентов можно представить в виде битопологического произведения, где каждому из них соответствует вертикальная и горизонтальная топология. Увеличение количества агентов можно отразить через многомерные пространства. В конце своего курса Андрей Кудинов представил слушателям логику SSL (subset space logic), показал ее модель и привел доказательство полноты данной логики.
Жозе де Мата выступил с докладом, посвященным девятой главе трактата Аристотеля «Об истолковании», в которой античный философ исследует высказывания о будущем. Согласно лектору, в размышлениях над парадоксом будущего морского сражения Аристотель уже предвосхищает многие современные подходы, в том числе, в паранепротиворечивых логиках. Де Мата рассказал о тех философских следствиях, к которым можно прийти если разделять логику Аристотеля, а также как в последующей истории философии воспринимались противоречия у Гегеля и у Фреге, который прямо ссылался на «Об интерпретации».
С курсом «Inquisitive semantics beyond questions» выступила на весенней школе Дарья Попова. На первой лекции Дарья познакомила слушателей с проектом инквизитивной семантики, разработанной для анализа обмена лингвистической информацией. Коммуникация и обмен информацией в этом фреймворке понимается как процесс последовательной постановки и разрешения существенных для обсуждения вопросов (issue). Инквизитивная семантика предлагает новую формальную модель для таких вопросов, которые понимаются как набор альтернатив для релевантного контекстуального множества. Это позволяет данной теории моделировать семантическое содержание не только для утверждений, но и для вопросительных предложений, на которых особенно сосредоточилась лектор в ходе своего курса.
На следующих лекциях Дарья Попова подробно и в интерактивном формате вместе с участниками школы разобрала дискурсивное поведение дизъюнкции в wh- вопросах (то есть с вопросительными словами что, кто, кого и т. д.). Для сравнения разных интерогативных предложений лектором были выбраны две категории закрытость/открытость вопроса и восходящая/нисходящая интонация. Как показала Дарья Попова, разные стратегии речевого поведения позволяют нам по-разному упаковывать содержание нашего предложения и ставить на обсуждение разные вопросы, что особенно ярко проявляется в случае дизъюнкции. Чтобы выразить изменение знания в ходе коммуникации лектор предложила расширение эпистемической логики, которое добавляет набор инквизитивных состояний и особый оператор заинтересованности E(φ). Для того чтобы успешно задать интересующий вопрос о формуле φ говорящий должен допускать её, W(φ). Такая эпистемическая установка выполняется при двух условиях: отсутствии знания и заинтересованности ¬K(φ) ∧ E(φ).
На последнем занятии лектор представила прагматическую теорию, которая выделяет два типа информативных обновлений: импозицию и предлагаемое содержание. Предлагаемое содержание утверждений может подтверждаться, отвергаться или обсуждаться участниками беседы, прежде чем стать частью общего фона разговора. Хотя не всегда согласие с предлагаемым должно выражаться экспилицитно. В то время как импозиции обновляют контекст информативно, но без обсуждения со слушающим, как бы навязываясь в common ground. Дарья Попова подробно рассмотрела поведение импозиций во вводных (Со слов Сэма, Джон уехал) и вложенных (Сэм сказал, что Джон уехал) конструкциях, а также их триггеры такие как фактичные глаголы пропозициональной установки. В конце своего курса Дарья Попова оставила открытым вопрос о месте импозиции в таксономии значения, а также о существовании чистой импозиции без предлагаемого содержания.
Математическому аспекту школы был посвящен курс Александра Запрягаева «Ultrafilters in Logic and Mathematics». Лектор начал с определения фильтра как семейства непустых подмножеств множества, замкнутого относительно пересечений и надмножеств. Ультрафильтр же – это максимальный фильтр, обладающий cледующим свойством: для любого подмножества X либо оно само принадлежит ультрафильтру, либо его дополнение. Как доказал Александр Запрягаев любое множество можно расширить до ультрафильтра, который затем уже можно использовать в разных областях знания, чтобы отобрать конкретные подмножества из данного набора.
На следующих занятиях лектор продемонстрировал слушателям способ доказательства теоремы Лося, которая выступает критерием полноты теории, то есть показывает, что в теории лежит любое утверждение или его отрицание, но не то и другое одновременно. Этот шаг позволил Александру Запрягаеву провести прямое доказательство теоремы компактности, которая утверждает, что если всякое конечное подмножество данного множества замкнутых формул совместно (имеет модель), то и всё множество совместно. Модель для всего множества строится как ультрапроизведение: индексами в ней будут конечные подмножества, и для каждого из них сомножителем будет существующая по условию модель. Таким образом, теорема Лося гарантирует, что формула будет истинна в ультрапроизведении.
На последнем занятии Александр Запрягаев рассмотрел понятия соседственного фильтра (neighbourhood filter): для каждой точки топологического пространства это семейство всех её окрестностей. Отдельное внимание также было уделено неглавным (nonprincipal) ультрафильтрам, поскольку именно они, в отличие от тривиальных главных ультрафильтров (порождённых одноэлементными множествами), требуют для своего существования аксиомы выбора и порождают нетривиальную топологию на пространстве ультрафильтров. В конце курса была доказана теорема Эрроу, в которой ультрафильтры используются для расчета предпочтений избирателей в выборе между тремя и более альтернативами.
Руководитель школы лингвистики НИУ ВШЭ Екатерина Рахилина прочитала лекцию об анализе концептуальных систем разных языков. Лектор начала с различения грамматических и лексических лакун: если грамматические категории (например, двойственное число в древнерусском или особые формы личных местоимений в староанглийском) поддаются системной типологии и предсказуемым переводам между системами, то лексические лакуны традиционно объясняются антропологически. То есть культурой и ежедневной практикой, которая в своей основе произвольна (верблюды у кочевников, валенки у русских). Однако современные корпусные исследования (в частности, Московской лексико-типологической группы) показывают, что дело обстоит сложнее: отсутствие слова не всегда означает отсутствие концепта. В бесермянском языке нет слова «ползти» – движение червя описывают через слово «тянуться», а младенца через «шагать». В армянском нет глагола «летать» – орёл «прыгает», стрела «падает». В агульском языке падение мальчика передаётся через «повернулся» или «врезался», а падение дома – через «садится».
Ключевым механизмом, позволяющим заполнять такие лакуны без введения новых концептов, оказывается метонимия (по смежности или непрерывности концептов). Размышление от части к целому, или от процесса к результату работает во всех языках. Екатерина Рахилина предложила когнитивистский подход к анализу таких концептуальных лакун: контролируемый полёт понимается как средняя фаза прыжка орла, неконтролируемый – как фаза падения стрелы; падение человека трактуется как поворот в вертикальной плоскости с препятствием. Соответственно к лексическим лакунам можно подходить с позиций логического анализа. Так формализация стадий описываемого процесса (начало, середина, результат) и точечных событий позволяет категоризировать подобные языковые ситуации.
Постдок ЛогЛинФФ Сайянтан Рой выступил на весенней школе с лекцией «Themes from Universal Logic». В своем сообщении он поднял философские вопросы о природе логики: что делает логику таковой и почему вообще нас это беспокоит? Проект универсальной логики предоставляет для ответа на эти вопросы математический аппарат, который позволяет разрабатывать логические концепции и результаты в неэссенциалистском ключе, т. е. без предпочтений к каким-то уже разработанным логическим системам. Поэтому в собственном смысле слова универсальная логика – это не логика, и даже не логическая система, но прежде всего метатеоретическая система.
Как показал Сайянтан Рой, универсальный логический подход к логике может помочь нам различать общее и частное (как было показано в ходе лекции на доказательстве полноты классической пропозициональной логики). В универсальной логике объект исследования, то есть класс логических структур, рассматривается абстрактно, в частности, за пределами дихотомии доказательства/истины. И существуют важные причины не сводить изучение логических структур к изучению алгебраических структур. Это, в свою очередь, подтверждает идею о том, что логические структуры следует рассматривать как материнскую структуру, отличную от алгебраических, топологических и упорядоченных структур.
